<p>Эта заметка является продолжением статьи: \url{<a href="https://habr.com/ru/articles/1044230/" rel="noopener noreferrer nofollow">https://habr.com/ru/articles/1044230/</a>} <<Выпрямление векторных полей и коммутирование потоков>></p><p>Возьмем гладкую функцию трех переменных <img class="formula inline" source="f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}" alt="f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/c/cb/cbb/cbb4e7dfe209add0dc7b68c13df4bd19.svg" width="80" height="16" data-width="10.904" data-height="2.564" data-vertical-align="-0.716"> (предположим для простоты, что её градиент нигде не обращается в ноль). Рассмотрим её поверхности уровня: \begin{equation*} f(x, y, z) = C \end{equation*}</p><p>При различных значениях константы <img class="formula inline" source="C" alt="C" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/0/0d/0d6/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.svg" width="12" height="12" data-width="1.719" data-height="1.645" data-vertical-align="-0.05"> мы получаем набор непересекающихся двумерных поверхностей. Пространство расслаивается на них, как слои в луковице. Если теперь в каждой точке пространства взять касательную плоскость к проходящей через неё поверхности уровня, мы получим поле двумерных плоскостей.</p><p>По построению это распределение интегрируемо, а поверхности уровня <img class="formula inline" source="f(x,y,z)=C" alt="f(x,y,z)=C" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/7/7b/7b2/7b264cd3dbc3b292e98269f82abf5098.svg" width="104" height="16" data-width="13.208" data-height="2.262" data-vertical-align="-0.566"> являются его интегральными поверхностями.</p><p>Обратно, допустим, кто-то задал нам совершенно произвольное гладкое поле двумерных плоскостей в <img class="formula inline" source="\mathbb{R}^3" alt="\mathbb{R}^3" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/a/a6/a6b/a6bcd1eddcf2923b077bd5e08d5731c6.svg" width="16" height="16" data-width="2.621" data-height="2.564" data-vertical-align="-0.716"> и попросил найти для них интегральные поверхности.</p><p>Поле двумерных плоскостей можно задать двумя линейно независимыми в каждой точке <img class="formula inline" source="\mathbb{R}^3" alt="\mathbb{R}^3" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/a/a6/a6b/a6bcd1eddcf2923b077bd5e08d5731c6.svg" width="16" height="16" data-width="2.621" data-height="2.564" data-vertical-align="-0.716"> векторными полями <img class="formula inline" source="u(x,y,z)" alt="u(x,y,z)" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/1/13/13b/13b9a1a680edce72d6046544b536a690.svg" width="64" height="16" data-width="8.521" data-height="2.262" data-vertical-align="-0.566"> и <img class="formula inline" source="v(x,y,z)" alt="v(x,y,z)" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/e/e3/e3b/e3ba0ff386ee6b2bd352039dbe3a2cd0.svg" width="64" height="16" data-width="8.324" data-height="2.262" data-vertical-align="-0.566">. Тогда через каждую точку <img class="formula inline" source="(x,y,z)" alt="(x,y,z)" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/4/4b/4bf/4bf16061f8c120f8adc4ba78f47396a6.svg" width="56" height="16" data-width="7.227" data-height="2.262" data-vertical-align="-0.566"> пространства проходит плоскость, содержащая векторы <img class="formula inline" source="u(x,y,z)" alt="u(x,y,z)" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/1/13/13b/13b9a1a680edce72d6046544b536a690.svg" width="64" height="16" data-width="8.521" data-height="2.262" data-vertical-align="-0.566"> и <img class="formula inline" source="v(x,y,z)" alt="v(x,y,z)" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/e/e3/e3b/e3ba0ff386ee6b2bd352039dbe3a2cd0.svg" width="64" height="16" data-width="8.324" data-height="2.262" data-vertical-align="-0.566">.</p><p>Всегда ли мы сможем найти такую функцию <img class="formula inline" source="f" alt="f" src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/8/8f/8fa/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.svg" width="12" height="16" data-width="1.244" data-height="2.059" data-vertical-align="-0.464">, поверхности уровня которой будут везде касаться наших плоскостей?</p><p>Интуиция может подсказывать, что это всегда возможно, но это не так.</p><p>Ответ на вопрос дает теорема Фробениуса.</p> <a href="https://habr.com/ru/articles/1047158/?utm_source=habrahabr&utm_medium=rss&utm_campaign=1047158#habracut">Читать далее</a>